საშუალო არითმეტიკული

ამოცანა 1

სკოლის 50 მასწავლებლიდან 30 ქალია და 20 მამაკაცი. ამ სკოლის ქალი მასწავლებლების საშუალო ასაკი (ანუ, მათი წლოვანების საშუალო არითმეტიკული) 30 წელია, მამაკაცების კი - 40 წელი. რისი ტოლია ამ სკოლის ყველა მასწავლებლის საშუალო ასაკი?

ამოხსნა

ქალი მასწავლებლების ასაკთა ჯამია:

30⋅30=900 წელი.

მამაკაცი მასწავლებლების ასაკთა ჯამია:

20⋅40=800 წელი.

სკოლის 50 მასწავლებლის ასაკთა ჯამია 900+800=1700 წელი. მაშინ, სკოლის ყველა მასწავლებლის საშუალო ასაკი იქნება:

\( \Large \frac{1700}{50} = 34 \) წელი

პასუხი: 34

ამოცანა 2

პირველ სამ გამოცდაში მოსწავლის მიერ მიღებული ქულების საშუალო არითმეტიკული 60- ის ტოლია. რამდენი ქულა უნდა აიღოს მოსწავლემ მეოთხე გამოცდაში, რომ ოთხივე გამოცდაში მიღებული ქულების საშუალო არითმეტიკული 65-ის ტოლი აღმოჩნდეს?

ამოხსნა

მოსწავლის მიერ პირველ სამ გამოცდაში მიღებული ქულების ჯამია:

3⋅60=180.

ოთხივე გამოცდაში მიღებული ქულების ჯამი უნდა იყოს:

4⋅65=260.

მაშინ, მოსწავლეს მეოთხე გამოცდაში უნდა მიეღო:

260-180=80 ქულა

პასუხი: 80

ამოცანა 3

ერთმა ფეხბურთელმა გასულ წელს ფეხბურთის 50 მატჩში მიიღო მონაწილეობა. აქედან 20 შეხვედრაში მას ბურთი არ გაუტანია, 15-ში - მხოლოდ თითო ბურთის გატანა მოახერხა, 10 თამაშში - ორ-ორი ბურთი გაიტანა, 5 თამაშში კი - სამ-სამი. რამდენი ბურთი გაჰქონდა საშუალოდ ერთ თამაშში ამ ფეხბურთელს?

ამოხსნა

ამ 50 მატჩში ფეხბურთელის მიერ გატანილი ბურთების საერთო რაოდენობა და საშუალო, შესაბამისად, იქნება:

\( 20 \times 0 + 15 \times 1 + 10 \times 2 + 5 \times 3 = 50 \)

► ასქროლე ჰორიზონტალურად, რომ ნახოთ მთელი განტოლება

მაშინ, ფეხბურთელის მიერ ერთ თამაშში გატანილი ბურთების საშუალო იქნება:

\[\Large \frac{{20 \cdot 0 + 15 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 3}}{{50}} = \frac{{50}}{{50}} = 1 \]

პასუხი: 1

ამოცანა 4

შეჯიბრებაზე სპორტსმენის გამოსვლას 10 მსაჯი აფასებდა. ზოგმა მსაჯმა მისი გამოსვლა უმაღლესი 6 ქულით შეაფასა, ხოლო ზოგიერთმა კი - 5 ქულით. რამდენმა მსაჯმა შეაფასა სპორტსმენის გამოსვლა 6 ქულით, თუ მის მიერ მიღებული ქულების საშუალო არითმეტიკული 5,2- ის ტოლი აღმოჩნდა?

ამოხსნა

ვთქვათ, სპორტსმენის გამოსვლა 6 ქულით შეაფასა x მსაჯმა, მაშინ სპორტსმენის გამოსვლა 5 ქულით შეუფასებია (10-x) მსაჯს. სპორტსმენის ქულათა ჯამური რაოდენობა იქნება

\(6x + 5(10 - x) = 6x - 5x + 50 = x + 50\)

საშუალო არითმეტიკული კი

\(\frac{x + 50}{10} = 5.2 \Rightarrow x + 50 = 52 \Rightarrow x = 2\)

პასუხი: 2

ამოცანა 5

უნივერსიტეტის კალათბურთელთა გუნდის ხუთეული დატოვა მოთამაშემ, რომლის სიმაღლე იყო 2 მეტრი. ამის შემდეგ დარჩენილი ოთხი მოთამაშის საშუალო სიმაღლე 2 სანტიმეტრით ნაკლები აღმოჩნდა აღნიშნული ხუთეულის საშუალო სიმაღლეზე. იპოვეთ ამ ხუთეულის საშუალო სიმაღლე.

ამოხსნა

ხუთეულის საშუალო აღვნიშნოთ x ით. მაშინ, მათი სიმაღლეთა ჯამი იქნება 5x სმ. ოთხეულის საშუალო არის (x-2)სმ. მაშინ, მათი სიმაღლეთა ჯამი იქნება 4(x-2) სმ. ცხადია, რომ ხუთეულისა და ოთხეულის ჯამურ სიმაღლეთა სხვაობა თამაშიდან გასული კალათბურთელის სიმაღლის ტოლი იქნება:

\[ 5x - 4(x - 2) = 200 \Rightarrow 5x - 4x + 8 = 200 \Rightarrow x = 192 \text{ სმ.} \]

პასუხი: 192 სმ

ამოცანა 6

რა x რიცხვი უნდა მივუწეროთ 15; 19; 13; 17 რიცხვით მიმდევრობას, რომ საწყის და ახალ მიღებულ (15; 19; 13; 17; x) რიცხვით მიმდევრობებს ერთმანეთის ტოლი საშუალო არითმეტიკული ჰქონდეთ?

ამოხსნა

საწყისი მიმდევრობის საშუალო არითმეტიკული ტოლია:

\[ \frac{15 + 19 + 13 + 17}{4} = \frac{64}{4} = 16 \]

მეორე მიმდევრობის საშუალო არითმეტიკულია:

\[ \frac{15 + 19 + 13 + 17 + x}{5} = \frac{64 + x}{5} \]

მაშინ,

\[ \frac{64+x}{5} = 16 \Rightarrow x + 64 = 16 \times 5 \Rightarrow x + 64 = 80 \Rightarrow x = 16 \]

პასუხი: 16

ამოცანა 7

იპოვეთ n , თუ ცნობილია, რომ პირველი n ნატურალური რიცხვის საშუალო არითმეტიკული 2007-ის ტოლია.

ამოხსნა

პირველი n ნატურალური რიცხვის საშუალო არითმეტიკული გამოითვლება ფორმულით:

\[ \frac{S_n}{n} = \frac{n + 1}{2} \Rightarrow \frac{n + 1}{2} = 2007 \Rightarrow n = 4013 \]

პასუხი: 4013

ამოცანა 8

ოჯახი ზამთრის სამ თვეში ხარჯავს თვეში საშუალოდ 120 ლარის ელექტროენერგიას, ხოლო სხვა თვეებში კი -თვეში საშუალოდ 60 ლარის ელექტროენერგიას. თვეში საშუალოდ რამდენი ლარის ელექტროენერგიას ხარჯავს ეს ოჯახი წელიწადში?

ამოხსნა

ელექტროენერგიის წლიური ხარჯი ტოლია:

\[ 3 \times 120 + (12 - 3) \times 60 = 3 \times 120 + 9 \times 60 = 3 \times 60 \times (2 + 3) = 3 \times 60 \times 5 = 900 \text{ ლარი.} \]

მაშინ, საშუალო თვიური ხარჯი იქნება:

\[ \frac{900}{12} = 75 \text{ ლარი.} \]

პასუხი: 75 ლარი

ამოცანა 9

კლასში 12 გოგონა და 10 ბიჭი სწავლობს. გოგონების მიერ მიღებული საშუალო ქულა 6-ის, ბიჭების კი 7-ის ტოლია. რას უდრის კლასის მოსწავლეთა საშუალო ასაკი?

ამოხსნა

12 გოგონას ასაკთა ჯამი 12⋅6=72-ის , ხოლო 10 ბიჭის ასაკთა ჯამი 10⋅7=0-ის ტოლია. მაშასადამე, კლასის 12+10=22 მოსწავლის ასაკთა ჯამი 72+70=142 წელია, ამიტომ კლასის მოსწავლეთა საშუალო ასაკი იქნება:

\[ \frac{72 + 70}{12 + 10} = \frac{142}{22} = \frac{71}{11} \text{ წელი.} \]

პასუხი: \( \Large \frac{71}{11} \)

ამოცანა 10

ხუთი რიცხვისგან შედგენილი მონაცემების საშუალო 3-ის ტოლი იყო. ამ მონაცემებს დაუმატეს მე-6 მონაცემი, რომლის სიდიდე 7-ის ტოლია. რას უდრის ახალი მონაცემების საშუალო?

ამოხსნა

ხუთი რიცხვის ჯამია 3⋅5=15, ხოლო ექვსი რიცხვის ჯამი 15+7=22 -ის ტოლია, მაშინ ახალი მონაცემების საშუალო (6 მონაცემის საშუალო) იქნება \(\Large \frac{22}{6}=\frac{11}{3}\)