2025 წლის მათემატიკის ტესტი 1 ვარიანტი

ამოცანა 1

ამოცანა 2

იპოვეთ უმცირესი სამნიშნა რიცხვი, რომელიც როგორც 4-ზე, ასევე 7-ზე გაყოფისას იძლევა 3-ის ტოლ ნაშთს.

ამოცანა 3

საათის ფასი ჯერ გაიზარდა 20%-ით, ხოლო შემდეგ შემცირდა 20%-ით და გახდა 96 ლარი. იპოვეთ საათის თავდაპირველი ფასი.

ამოცანა 4

სამკუთხედის კუთხეები ისე შეეფარდება ერთმანეთს, როგორც 1:3:5. იპოვეთ სამკუთხედის უმცირესი კუთხის სიდიდე.

ამოცანა 5

0,5 მეტრი რადიუსის მქონე წრის ფორმის გასაშლელი მაგიდის გაშლის დროს ნახევარწრის ფორმის ნაჭრებს შორის დგამენ მართკუთხედის ფორმის ნაჭერს, რომლის დიაგონალის სიგრძე $\sqrt{5}$ მეტრია. იპოვეთ გაშლილი მაგიდის ფართობი (იხ. სურათი).

ამოცანა 6

იპოვეთ a , თუ $2^a=(\sqrt[3]{2 \sqrt[3]{2}})^{\frac{3}{2}}$

ამოცანა 7

იპოვეთ $\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}$ გამოსახულების მნიშვნელობა, თუ a და b რიცხვები აკმაყოფილებს ტოლობებს: $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}=3$ და $\sqrt{a}-\sqrt{b}=2$.

ამოცანა 8

იპოვეთ y = kx + b წრფის k კოეფიციენტი, თუ ცნობილია, რომ როდესაც წრფეზე მოძრავი წერტილის აბსცისა გაიზრდება 2 ერთეულით, მაშინ მისი ორდინატა შემცირდება 3 ერთეულით.

ამოცანა 9

$y=k x+\frac{1}{k}$ ფუნქციის გრაფიკი Oxy მართკუთხა საკოორდინატო სისტემის აბსცისათა და ორდინატთა ღერძებს კვეთს შესაბამისად A და B წერტილებში (იხ. სურათი). იპოვეთ A წერტილის კოორდინატები, თუ ცნობილია, რომ $\angle B A O=30^{\circ}$.

ამოცანა 10

იპოვეთ $|x-2|=2-x$ განტოლების ამონახსნთა სიმრავლე.

ამოცანა 11

იპოვეთ წესიერი ათკუთხედის პერიმეტრი, თუ მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი 3 სმ-ის ტოლია.

ამოცანა 12

7,2 კგ მასის შენადნობი მიღებულია სამი ლითონის ერთმანეთთან შედნობის შედეგად. ლითონების მასების განაწილების წრიულ დიაგრამაზე მეორე ლითონის შესაბამისი სექტორის ცენტრალური კუთხის სიდიდე 5°-ით აღემატება პირველი ლითონის შესაბამისი ცენტრალური კუთხის სიდიდეს და 35°-ით ნაკლებია მესამე ლითონის შესაბამისი ცენტრალური კუთხის სიდიდეზე. იპოვეთ ამ შენადნობში მეორე ლითონის მასა.

ამოცანა 13

პირამიდას და პრიზმას ტოლი რაოდენობის წვეროები აქვს. რამდენი წიბო აქვს ამ პირამიდას, თუ მას 5-ით მეტი წახნაგი აქვს, ვიდრე აღნიშნულ პრიზმას.

ამოცანა 14

Oxy საკოორდინატო სიბრტყეზე მოცემულია OABC პარალელოგრამი, რომლის AOC კუთხის სიდიდე 60°-ია, ხოლო B წერტილის კოორდინატებია (4; 2). იპოვეთ C წერტილის აბსცისა, თუ ცნობილია, რომ C წერტილის ორდინატა ნულის ტოლია.

ამოცანა 15

რამდენი ისეთი ხუთნიშნა ნატურალური რიცხვი არსებობს, რომელიც მარცხნიდან და მარჯვნიდან ერთნაირად იკითხება (ასეთი რიცხვია, მაგალითად, 12321)?

ამოცანა 16

რამდენ ელემენტს შეიცავს $(A \cup B) \backslash(A \cap B)$ სიმრავლე, თუ ცნობილია, რომ A და B სიმრავლეები შეიცავს ხუთ-ხუთ ელემენტს, რომელთაგან 2 ელემენტი საერთო აქვთ.

ამოცანა 17

არგუმენტის რომელი მნიშვნელობისთვის იღებს $\left[-\frac{2 \pi}{3} ;-\frac{\pi}{6}\right]$ შუალედზე განსაზღვრული $f(x)=\cos (3 x)$ ფუნქცია უმცირეს მნიშვნელობას?

ამოცანა 18

წინასწარ განსაზღვრული 20 თემიდან გამოცდაზე აძლევენ შემთხვევით შერჩეულ 3 თემას, საიდანაც მოსწავლე სურვილის მიხედვით დასაწერად ირჩევს ერთს. მოსწავლეს საგამოცდოდ განსაზღვრული 20 თემიდან მომზადებული აქვს მხოლოდ 12 თემა. რას უდრის იმის ალბათობა, რომ მან შეძლოს მომზადებული თემის არჩევა?

ამოცანა 19

იპოვეთ m-ის ყველა იმ მნიშვნელობათა სიმრავლე, რომელთაგან თითოეულისთვის $x^2-4 x+3-m=0$ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი და იმავე ნიშნის ორი განსხვავებული ფესვი.

ამოცანა 20

ABC მართკუთხა სამკუთხედის C მართი კუთხის წვეროდან AB ჰიპოტენუზისადმი გავლებულია CD სიმაღლე. იპოვეთ ACD კუთხის სინუსი, თუ $\frac{D B}{C B}=\frac{3}{4}$.

ამოცანა 21

იპოვეთ $\vec{a}=(1 ; -1)$ და $\vec{b}=(2 ; 1)$ ვექტორებს შორის კუთხის სიდიდე.

ამოცანა 22

რის ტოლია იმის ალბათობა, რომ მონეტის 10-ჯერ აგდებისას ზუსტად 8-ჯერ მოვა საფასური?

ამოცანა 23

იპოვეთ $f(x)=3+2 \cos (x-1)$ ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე.

ამოცანა 24

Oxy საკოორდინატო სიბრტყეზე მოცემულია სამკუთხედი, რომლის წვეროები $y=x^2-7 x+12$ ფუნქციის გრაფიკის საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებია. იპოვეთ ამ სამკუთხედის უდიდესი გვერდის სიგრძე.

ამოცანა 25

იპოვეთ a პარამეტრის ყველა იმ მნიშვნელობების სიმრავლე, რომელთაგან თითოეულისათვის $\cos x=3-2 a$ განტოლებას აქვს ამონახსნი, რომელიც მოთავსებულია $\left(\frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right)$ ინტერვალში.

ამოცანა 26

ქვემოთ ჩამოთვლილი გამონათქვამებიდან რომელია ყოველთვის ჭეშმარიტი?

ამოცანა 27

Oxy საკოორდინატო სიბრტყეზე მოცემულია სიბრტყის ორი გარდაქმნა: $R_O^{90^{\circ}}$ და $H_o^2$ სადაც $R_O^{90^{\circ}}$ არის მობრუნება კოორდინატთა სათავის გარშემო 90°-ით საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო მიმართულებით, ხოლო $H_o^2$ არის ჰომოთეტია ცენტრით კოორდინატთა სათავეში და კოეფიციენტით 2. იპოვეთ $H_O^2\left(R_O^{90^{\circ}}(A)\right)$ წერტილის კოორდინატები, თუ A წერტილის კოორდინატებია $(3 ;-2)$.

ამოცანა 28

რიცხვითი მიმდევრობის ზოგადი წევრი მოცემულია ფორმულით $a_n=n^2-3 n+1$, სადაც n ნატურალური რიცხვია. იპოვეთ $a_n+a_{n+1}$

ამოცანა 29

იპოვეთ უდიდესი მთელი რიცხვი, რომელიც ნაკლებია $\log _2 3-\log _4 81$ გამოსახულების მნიშვნელობაზე.

ამოცანა 30

O ცენტრის მქონე წრეწირის A წერტილზე გავლებულია AB მხები. OB მონაკვეთი წრეწირს კვეთს C წერტილში ისე, რომ $O C: C B=2: 1$. იპოვეთ წრეწირის რადიუსი, თუ AB = 2.

ამოცანა 31

იპოვეთ $4^x + 4^{x+1} + 4^{x+2} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2}$ განტოლების ამონახსნი.

ამოცანა 32

გეომეტრიული პროგრესიის მეორე და მეხუთე წევრი შესაბამისად 12-ის და 96-ის ტოლია. იპოვეთ ამ პროგრესიის პირველი წევრი.

ამოცანა 33

იპოვეთ $f(x)=|\sin x|$ ფუნქციის უმცირესი დადებითი პერიოდი.

ამოცანა 34

წესიერი ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდის სიგრძეა $2 \sqrt{3}$ სმ, ხოლო პირამიდის სიმაღლე არის 6 სმ. იპოვეთ პირამიდის ფუძით და გვერდითი წახნაგით შედგენილი ორწახნაგა კუთხის სიდიდე.

ამოცანა 35

x = −5 წრფე წარმოადგენს $f(x)=|x+a|+3$ ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიის ღერძს. იპოვეთ $f(6)$.

ამოცანა 36

ABCD პარალელოგრამის BC გვერდზე მონიშნულია P წერტილი ისე, რომ $B P=3 P C$. ამასთან AP და CD წრფეები იკვეთება K წერტილში. რას უდრის ABCD პარალელოგრამისა და AKD სამკუთხედის ფართობების შეფარდება?

ამოცანა 37

ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი სრული ზედაპირის ფართობის ნახევრის ტოლია. იპოვეთ ცილინდრის ფუძის რადიუსის შეფარდება ცილინდრის სიმაღლესთან.

ამოცანა 38

Oxy საკოორდინატო სისტემაში $y=\log _9 x$ და $y=\log_9 x$ ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება ორ წერტილში, რომელთა ორდინატებია $\frac{1}{2}$ და $\frac{3}{2}$. რას უდრის k + b ?

ამოცანა 39

$O_1$ და $O_2$ ცენტრების მქონე ორი წრეწირი გარედან ეხება ერთმანეთს. ამ წრეწირების საერთო გარე მხები O1 ცენტრის მქონე მცირე წრეწირს ეხება A წერტილში, ხოლო $O_2$ ცენტრის მქონე დიდ წრეწირს - B წერტილში. იპოვეთ $O_1$AB$O_2$ ოთხკუთხედის ფართობი, თუ მცირე წრეწირის რადიუსი 2 სმ-ის ტოლია, ხოლო დიდი წრეწირის რადიუსი ტოლია 5 სმ-ის.

ამოცანა 40

კურსზე ბიჭებისა და გოგონების რაოდენობების გამომსახველ წრიულ დიაგრამაზე გოგონების შესაბამისი სექტორის ცენტრალური კუთხის სიდიდე 30°-ით აღემატება ბიჭების შესაბამისი სექტორის ცენტრალური კუთხის სიდიდეს. სულ რამდენი გოგონა და რამდენი ბიჭი სწავლობს ამ კურსზე, თუ მათი ჯამური რაოდენობა 75-ზე მეტი ორნიშნა რიცხვით გამოისახება?

ამოცანა 41

იპოვეთ მთელ რიცხვთა ყველა შესაძლო ( x ; y ) წყვილი, რომელთათვისაც სრულდება ტოლობა $\log_7(x^2 - y^2 + 4) = 1 - \log_7(x + 3y)$