2015 წლის მათემატიკის ტესტი 1 ვარიანტი

ამოცანა 1

\(0,99: 1,1+0,1=\)

ამოცანა 2

რა ნაშთი მიიღება a რიცხვის 8-ზე გაყოფისას, თუ 27 + a -ს 8-ზე გაყოფისას ნაშთში მიიღება 2?

ამოცანა 3

ნავთობის გაიაფების შედეგად ერთი ლიტრი ბენზინის ფასი 20%-ით შემცირდა და 1,68 ლარი შეადგინა. რა ღირდა ერთი ლიტრი ბენზინი გაიაფებამდე?

ამოცანა 4

სურათზე დაყრდნობით იპოვეთ \(\angle A C B\)-ს გრადუსული ზომა, თუ AC და BC მონაკვეთები a და b პარალელურ წრფეებთან შესაბამისად \(58^{\circ}\) -იან და \(12^{\circ}\)-იან კუთხეებს ადგენს.

ამოცანა 5

ABC მართკუთხა სამკუთხედში \(\angle C=90^{\circ}\), ხოლო CO მედიანაა. იპოვეთ AC კათეტის სიგრძე, თუ \(C O=C B=5\).

ამოცანა 6

ავტობუსის გაჩერებაზე №11 ავტობუსი ყოველ 12 წუთში ერთხელ ჩერდება, ხოლო №17 ავტობუსი - ყოველ 18 წუთში ერთხელ. დროის გარკვეულ მომენტში ეს ავტობუსები ამ გაჩერებაზე ერთდროულად გაჩერდნენ. რა უმცირესი დროის შემდეგ გაჩერდებიან კვლავ ეს ავტობუსები ერთდროულად ამ გაჩერებაზე?

ამოცანა 7

იპოვეთ n , თუ \(\LARGE \frac{4,5}{\sqrt{n}}=\frac{9}{50}\).

ამოცანა 8

ველოსიპედისტი სახლიდან გამოსვლის შემდეგ დაეშვა დაღმართზე მაღაზიამდე და პროდუქტის შეძენის შემდეგ იმავე გზით დაბრუნდა სახლში. სურათზე მოცემულია მისი სახლიდან დაშორების დროზე დამოკიდებულების გრაფიკი. გრაფიკზე დაყრდნობით იპოვეთ ველოსიპედისტის სიჩქარე აღმართზე მოძრაობისას (ჩათვალეთ, რომ ველოსიპედისტი მოძრაობს წრფის მონაკვეთის გასწვრივ).

ამოცანა 9

თუ \(a-b=1\), მაშინ \(a^3-b^3=\)

ამოცანა 10

\(a x=b\) წრფივ განტოლებას არ გააჩნია ამონახსნი, როდესაც

ამოცანა 11

იპოვეთ იმ წრფის განტოლება, რომელიც Oxy მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში გადის \((3 ; 2)\) და \((-1 ;-2)\) წერტილებზე.

ამოცანა 12

ძმა 5 წლით უფროსია დაზე. იპოვეთ და-ძმის წლოვანებათა ჯამი, თუ მათი წლოვანებები 4 წლის წინ ისე შეეფარდებოდა ერთმანეთს, როგორც 3:2.

ამოცანა 13

სურათზე მოცემულ ვენის დიაგრამაზე A , B და C სიმრავლეები კვადრატებით არის გამოსახული. ქვემოთ ჩამოთვლილთაგან რომელია სურათზე გამუქებული ფიგურით მოცემული სიმრავლე?

ამოცანა 14

უჯრედებიან ფურცელზე, რომლის თითოეული უჯრა 1 ერთეულის ტოლი გვერდის მქონე კვადრატს წარმოადგენს, გამოსახულია \(\vec{a}\) და \(\vec{b}\) ვექტორები, რომელთა სათავე და ბოლო უჯრების წვეროებს ემთხვევა. სურათის მიხედვით იპოვეთ \(\vec{a}+\vec{b}\) ვექტორის კოორდინატები.

ამოცანა 15

პირველ კლასში, მეორე კლასთან შედარებით, ერთით მეტი ბიჭი და ერთით ნაკლები გოგონაა. თითოეული კლასისთვის შეადგინეს ბიჭებისა და გოგონების რაოდენობების გამომსახველი წრიული დიაგრამა. იპოვეთ რამდენი მოსწავლეა პირველ კლასში, თუ გოგონების შესაბამისი სექტორის ცენტრალური კუთხის სიდიდე მეორე კლასის დიაგრამაზე \(30^{\circ}\) -ით მეტია ვიდრე პირველი კლასის დიაგრამაზე.

ამოცანა 16

სურათზე მოცემულია 1სმ³ მოცულობის მქონე კუბის შლილი. იპოვეთ ამ კუბის იმ წვეროებს შორის მანძილი, რომელთაც შლილზე A და B წერტილები შეესაბამება.

ამოცანა 17

Oxy მართკუთხა საკოორდინატო სიბრტყეზე აგებულია \(y=\log _2 x\) და \(y=\log _2\left(\frac{1}{x}\right)\) ფუნქციათა გრაფიკები. ქვემოთ ჩამოთვლილი გარდაქმნებიდან რომელს გადაყავს პირველი ფუნქციის გრაფიკი მეორე ფუნქციის გრაფიკში?

ამოცანა 18

ურნაში დევს ერთნაირი ზომის 8 წითელი და 8 თეთრი ბურთი. ურნიდან ერთდროულად იღებენ შემთხვევით არჩეულ ორ ბურთს. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორივე ბურთი განსხვავებული ფერის იქნება.

ამოცანა 19

თუ \(\small f(x)=2-3 x, g(x)=2-5 x\), მაშინ \(f(g(x))=\)

ამოცანა 20

ტბის ნაპირზე მდებარე A და B პუნქტებს შორის მანძილის პოვნის მიზნით გაზომეს მანძილი M წერტილიდან B პუნქტამდე და AMB და ABM კუთხეები. იპოვეთ AB მანძილი, თუ MB = 2 კმ, \(\angle A M B=45^{\circ}\) და \(\angle A B M=105^{\circ}\).

ამოცანა 21

სურათზე გამოსახულია AC დიამეტრის მქონე ნახევარწრეწირი. B წერტილი მდებარეობს ამ ნახევარწრეწირის რკალზე, ხოლო K წერტილი წარმოადგენს ABC სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრს. ქვემოთ ჩამოთვლილი წინადადებებიდან რომელია ჭეშმარიტი?

ამოცანა 22

ცნობილია, რომ \(\Large \frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}\) და \(\Large \frac{7 x+10}{x^2-1}\) გამოსახულებები a და b პარამეტრების გარკვეული მნიშვნელობებისთვის იგივურად ტოლია. იპოვეთ a და b პარამეტრების ამ მნიშვნელობებისთვის \(a^2-b^2\).

ამოცანა 23

იპოვეთ a-ს იმ მნიშვნელობათა სიმრავლე, რომლებისთვისაც წერტილი \(P(2 a+3 ; 3 a-2)\) საკოორდინატო სიბრტყის მეოთხე მეოთხედში მდებარეობს (ამასთან არ მდებარეობს კოორდინატთა ღერძებზე).

ამოცანა 24

ABC კუთხის გვერდები ეხებიან წრეწირს A და C წერტილებში (იხ. სურათი). იპოვეთ სურათზე გამუქებული AOC სექტორის ფართობი, თუ AC = 6 და \(\angle A B C=60^{\circ}\).

ამოცანა 25

ABCD მართკუთხა ტრაპეციაში \(A C \perp C D\) (იხ. სურათი). იპოვეთ ტრაპეციის ფართობი, თუ AC = 3, AD = 5.

ამოცანა 26

გამოთვალეთ \(\sin (\alpha-\beta)\), თუ \(\cos \alpha=\frac{1}{3}\) \(\cos \beta=\frac{1}{4}, \alpha \in(0 ; \pi)\) და \(\beta \in\left(-\frac{\pi}{2} ; 0\right)\).

ამოცანა 27

Oxy მართკუთხა საკოორდინატო სისტემაში მოცემულია \(A(3 ;-2)\) წერტილი. იპოვეთ A წერტილის ანასახის კოორდინატები სიბრტყეზე თანმიმდევრობით განხორციელებული შემდეგი ორი გარდაქმნის შედეგად: ჯერ სიმეტრია \(y=x\) განტოლებით მოცემული წრფის მიმართ, ხოლო შემდეგ პარალელური გადატანა \(\vec{a}=(3 ;-5)\) ვექტორით.

ამოცანა 28

დადებითი რიცხვებისაგან შედგენილ \(a_1, a_2, \ldots\) არითმეტიკულ პროგრესიაში პირველი წევრი პროგრესიის სხვაობაზე 3-ჯერ მეტია. გამოთვალეთ \(\frac{a_{20}}{a_{10}}\).

ამოცანა 29

რას უდრის \(f(x)=|\sin 3 x|\) ფუნქციის უმცირესი დადებითი პერიოდი?

ამოცანა 30

კონუსის ფუძის რადიუსი კონუსის სიმაღლეზე 2-ჯერ ნაკლებია. იპოვეთ კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობის შეფარდება კონუსის ფუძის ფართობთან.

ამოცანა 31

იპოვეთ უტოლობათა სისტემის ამონახსნთა სიმრავლე \[\large \left\{\begin{array}{l}5 x+4 \geq 3 x-2 \\ x-2<-4 x\end{array}\right.\].

ამოცანა 32

იპოვეთ \(b_1, b_2, \ldots\) გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ხუთი წევრის ჯამი, თუ \(b_1=\frac{1}{2}\) და \(b_4=-4\).

ამოცანა 33

ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალი ფუძესთან ადგენს \(30^{\circ}\)-ის ტოლ კუთხეს. იპოვეთ ტრაპეციის სიმაღლის სიგრძე, თუ ცნობილია, რომ ამ ტრაპეციის შუახაზი 8 სმ-ის ტოლია.

ამოცანა 34

ამოხსენით განტოლება: \(\large \log _2(7 x+5)=4\)

ამოცანა 35

იპოვეთ k პარამეტრის ყველა ის მნიშვნელობა, რომელთათვისაც \(y=k x-5\) წრფეს \(y=8 x^2\) პარაბოლასთან აქვს ერთი მაინც საერთო წერტილი.

ამოცანა 36

მოცემულია \(\frac{m}{n}\) წილადი, სადაც m და n დადებითი მთელი რიცხვებია. თუ წილადის მრიცხველს გავზრდით 5%-ით, მაშინ რამდენი პროცენტით უნდა გავზარდოთ მნიშვნელი, რომ \(\frac{m}{n}\) წილადი შემცირდეს 10%-ით?

ამოცანა 37

A და B წერტილები ცილინდრის სხვადასხვა ფუძეებზე ძევს. AB მონაკვეთზე გავლებულია ცილინდრის ღერძის პარალელური  სიბრტყე. რისი ტოლია AB მონაკვეთის სიგრძე, თუ ის ცილინდრის ფუძის სიბრტყესთან ადგენს \(45^{\circ}\) კუთხეს, ცილინდრის ფუძის რადიუსი ტოლია 5-ის, ხოლო მანძილი ცილინდრის ღერძიდან a სიბრტყემდე 4-ის ტოლია?

ამოცანა 38

ორი წრეწირი ცენტრებით \(O_1\) და \(O_2\) წერტილებში, რომელთა რადიუსებია შესაბამისად 3 და 1, გარედან ეხება ერთმანეთს. წრეწირებსა და მათ საერთო გარე მხებს შორის ჩახაზეს მესამე წრეწირი ისე, რომ ის ეხება მოცემულ ორ წრეწირს და გარე მხებს ისე, როგორც ეს სურათზეა მოცემული. იპოვეთ მესამე წრეწირის რადიუსი.

ამოცანა 39

საწარმოს უნდა დაემზადებინა გარკვეული რაოდენობის პროდუქტი. 4 საათიანი მუშაობის შემდეგ ძირითადი საწარმოო ხაზი ავარიულად გაჩერდა და მაშინვე ამუშავდა სათადარიგო საწარმოო ხაზი. იგი მთელი რაოდენობის დამზადებას 6 სთით უფრო მეტ დროს ანდომებს, ვიდრე ძირითადი ხაზი. ავარიიდან 3 საათის შემდეგ ძირითადი საწარმოო ხაზი შეაკეთეს. აღმოჩნდა, რომ ამ დროისთვის დამზადებული იყო მთელი რაოდენობის მხოლოდ ნახევარი. რა დრო დასჭირდება პროდუქტის დარჩენილი რაოდენობის დამზადებას, თუ ორივე საწარმოო ხაზი ერთდროულად იმუშავებს?

ამოცანა 40

საკოორდინატო სიბრტყეზე მოძრაობს \(A(x, y)\)წერტილი, რომლის კოორდინატები დროის ყოველ t მომენტში აკმაყოფილებენ განტოლებათა სისტემას \[\left\{\begin{array}{l}x=8 \sin t+6 \cos t \\ y=4 \sin t-12 \cos t\end{array}\right.\]. იპოვეთ, რა უმცირესი მანძილით იქნება \(A(x, y)\) წერტილი დაშორებული \(B(-1 ; 2)\) წერტილიდან, როდესაც \(\large \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{2 \pi}{3}\).

არ გამოტოვო ახალი ტესტები!

დრო: 3:00:00