$3 \frac{1}{4}-1{,}2 \cdot 3 \frac{1}{3}=$

$a$ ნატურალური რიცხვის 6-ზე გაყოფისას მიიღება 3-ის ტოლი ნაშთი. იპოვეთ $(a+8)$-ის 6-ზე გაყოფისას მიღებული ნაშთი.

10% კონცენტრაციის 200 გრამ მარილხსნარს დაამატეს 50 გრამი მარილი. რამდენი პროცენტი გახდა მარილის კონცენტრაცია ახალ ხსნარში?

კვადრატში, რომლის პერიმეტრი 4 სმ-ია, ჩახაზულია წრეწირი. იპოვეთ ამ წრეწირის სიგრძე.

$O$ წერტილი წარმოადგენს $ABC$ სამკუთხედის ბისექტრისების გადაკვეთის წერტილს. იპოვეთ $AOB$ კუთხის გრადუსული ზომა, თუ ცნობილია, რომ $\angle C = 80^{\circ}$ და $\angle B = 70^{\circ}$.

$\sqrt{\left(\frac{1}{3a}\right)^{-20}} \cdot \sqrt[3]{27^{-10}}=$

იპოვეთ $a^3+b^3$ გამოსახულების მნიშვნელობა, თუ ცნობილია, რომ $a+b=3$ და $ab=1$.

$k$-ს რა მნიშვნელობისათვის არის $f(x)=-x^2-6x+k$ ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა 7-ის ტოლი?

$Oxy$ მართკუთხა საკოორდინატო სიბრტყეში მდებარე $a$ წრფე გადის $(0;-5)$ და $(5;0)$ წერტილებზე. ქვემოთ მოცემული ფუნქციებიდან, რომლის გრაფიკი არის პარალელური $a$ წრფის?

თუ $x\in(4;+\infty)$, მაშინ $|12-3x|+3x=$

მართკუთხა სამკუთხედში ერთ-ერთი მახვილი კუთხის სინუსი არის $\frac{3}{5}$. იპოვეთ ამ სამკუთხედის მეორე მახვილი კუთხის ტანგენსი.

საპრეზიდენტო არჩევნებში ამომრჩევლების ყველა ხმა გადანაწილდა სამ კანდიდატზე: $A$, $B$ და $C$-ზე. ხმების განაწილების ამსახველ წრიულ დიაგრამაზე $A$-ს შესაბამისი სექტორის კუთხე $30^{\circ}$-ით ნაკლებია $B$-ს შესაბამისი სექტორის კუთხეზე, ხოლო $C$-ს შესაბამისი სექტორის კუთხე $60^{\circ}$-ით ნაკლებია $B$-ს შესაბამისი სექტორის კუთხეზე. რამდენი პროცენტით აღემატება $A$ კანდიდატის მიერ მიღებული ხმების რაოდენობა $C$ კანდიდატის მიერ მიღებული ხმების რაოდენობას?

$\Pi$ სიბრტყეზე არამდებარე $A$ წერტილიდან $\Pi$ სიბრტყისადმი გავლებულია დახრილი, რომელიც $\Pi$ სიბრტყეს კვეთს $B$ წერტილში. იპოვეთ ამ დახრილის $\Pi$ სიბრტყესთან შედგენილი კუთხის კოსინუსი, თუ $AB=8$ სმ და $A$ წერტილიდან $\Pi$ სიბრტყემდე მანძილი არის 6 სმ.

$Oxy$ საკოორდინატო სიბრტყეზე მოცემულია $ABC$ ტოლგვერდა სამკუთხედი, რომლის $AB$ გვერდი მდებარეობს აბსცისათა ღერძზე, ხოლო ორდინატთა ღერძი ამ სამკუთხედის სიმეტრიის ღერძია. $AC$ გვერდის შუაწერტილის აბსცისა არის $\sqrt{3}$. იპოვეთ $C$ წერტილის ორდინატა, თუ ის დადებითი რიცხვია.

იპოვეთ უმცირესი მთელი რიცხვი, რომელიც აღემატება $\frac{1}{2}+\sqrt[5]{33}$.

იპოვეთ $A\cup(B\cap C)$ სიმრავლე, თუ $A=\{1;3;5;7;9\}$, $B=\{1;2;3;4;6\}$ და $C=\{3;6;9\}$.

ქვემოთ მოცემული შუალედებიდან, რომელშია $f(x)=-3\cos x$ ფუნქცია კლებადი?

რას უდრის იმის ალბათობა, რომ სამკუთხედის შიგნით შემთხვევით არჩეული წერტილი აღმოჩნდება ამ სამკუთხედის სამივე გვერდის შუაწერტილების შეერთებით მიღებული სამკუთხედის შიგნით?

იპოვეთ $9^x-3^{x+1}=-2$ განტოლების ამონახსნთა ჯამი.

მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი მახვილი კუთხე არის $60^{\circ}$, ხოლო მცირე კათეტის სიგრძე 5 სმ-ის ტოლია. რას უდრის ამ სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი?

მოცემულია $\vec{a}=(-1;\,2)$ და $\vec{b}=(2;\,x)$ ვექტორები. იპოვეთ $x$-ის ყველა იმ მნიშვნელობის სიმრავლე, რომელთათვისაც $\vec{a}$ და $\vec{b}$ ვექტორები ურთიერთმართობულია.

ტურისტული ჯგუფი შედგება 18 ქალისა და 12 მამაკაცისაგან. მათგან ინგლისურ ენაზე საუბრობს 15 ტურისტი. იმის ალბათობა, რომ ამ ჯგუფიდან შემთხვევით შერჩეული ტურისტი აღმოჩნდეს ინგლისურად მოსაუბრე ქალი $p$-ს ტოლია. იპოვეთ $p$-ს უმცირესი შესაძლო მნიშვნელობა.

იპოვეთ $f(x)=4\sin^2 x+2\cos^2 x+3$ ფუნქციის მნიშვნელობათა სიმრავლე.

$Oxy$ საკოორდინატო სიბრტყეზე განვიხილოთ ყველა ისეთი სამკუთხედი, რომელთა წვეროები მდებარეობს $y=x^2-4x-5$ ფუნქციის გრაფიკზე, ამასთან, თითოეული სამკუთხედის ორი წვეროს ორდინატა ნულის ტოლია, ხოლო მესამე წვეროს ორდინატა უარყოფითია. იპოვეთ ამ სამკუთხედების ფართობებს შორის უდიდესი.

გამოთვალეთ ჯამი $\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=0$ განტოლების ყველა იმ ამონახსნისა, რომლებიც მოთავსებულია $(0;\,2\pi)$ შუალედში.

ქვემოთ ჩამოთვლილი გამონათქვამებიდან რომელია ყოველთვის ჭეშმარიტი?

$Oxy$ საკოორდინატო სიბრტყეზე მოცემულია ორი გარდაქმნა: $S$ ღერძული სიმეტრია აბსცისათა $Ox$ ღერძის მიმართ და $\vec{v}=(3;-1)$ ვექტორით განსაზღვრული $T$ პარალელური გადატანა. იპოვეთ $B$ წერტილის კოორდინატები, თუ $S(B)=T(A)$, სადაც $A$ წერტილის კოორდინატებია $(-2;\,5)$.

არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი 7-ის ტოლია, ხოლო მისი მეშვიდე და მეთხუთმეტე წევრების ჯამი 76-ის ტოლია. იპოვეთ ამ პროგრესიის სხვაობა.

$(-3;\,1)$ და $(5;\,-1)$ წერტილებზე გამავალ წრფეზე მოძრაობს წერტილი. როგორ შეიცვლება ამ წერტილის აბსცისა, თუ მისი ორდინატა შემცირდება 3 ერთეულით?

$AB$ არის ორი თანაუკვეთი წრეწირის საერთო გარე მხები წრფე, სადაც $A$ და $B$ წრეწირებთან შეხების წერტილებია (იხ. სურათი). იპოვეთ $AB$ მონაკვეთის სიგრძე, თუ წრეწირების რადიუსებია 6სმ და 1სმ, ხოლო ამ წრეწირების ცენტრებს შორის მანძილია 13სმ.

ცხრა ადამიანიდან საჭიროა შეირჩეს კომიტეტი 4 წევრის შემადგენლობით. რამდენი სხვადასხვა გზით შეიძლება კომიტეტის შედგენა, თუ ამ ცხრა ადამიანს შორის არის ორი, რომელთაგან კომიტეტში შესაძლებელია მხოლოდ ერთის არჩევა?

დადებით წევრებიანი $b_n$ გეომეტრიული პროგრესიის წევრები აკმაყოფილებენ ტოლობებს: $b_2 \cdot b_4 = 144$ და $b_3+b_5=60$. იპოვეთ ამ პროგრესიის მნიშვნელი.

$y=f(x)$ არის ნამდვილ რიცხვთა ღერძზე განსაზღვრული ლუწი პერიოდული ფუნქცია, პერიოდით 2. მისი გრაფიკი $[0;\,1]$ სეგმენტზე ემთხვევა $g(x)=2(x-1)^3$ ფუნქციის გრაფიკს. იპოვეთ $f(1{,}5)$.

ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა მდებარეობს $\Pi$ სიბრტყეზე. ამ სამკუთხედის მართი კუთხის წვეროდან $\Pi$ სიბრტყემდე მანძილი ორჯერ ნაკლებია კათეტის სიგრძეზე. იპოვეთ მოცემული სამკუთხედითა და $\Pi$ სიბრტყით შედგენილი ორწახნაგა კუთხის სიდიდე.

40 სტუდენტიდან თითოეული მონაწილეობას იღებს მათემატიკის, ფიზიკის ან ქიმიის წრეებიდან ერთში მაინც. ცნობილია, რომ მათემატიკის წრეში მონაწილეობს ზუსტად 25 სტუდენტი, ფიზიკის წრეში - 20, ქიმიის წრეში - 15. ზუსტად 5 სტუდენტი იღებს მონაწილეობას სამივე წრეში. რამდენი სტუდენტი იღებს მონაწილეობას ზუსტად ორ წრეში?

წრეწირის გარეთ მდებარე $P$ წერტილიდან წრეწირისადმი გავლებულია მკვეთი და $PT$ მხები, რომელიც წრეწირს ეხება $T$ წერტილში. მკვეთი წრეწირს კვეთს $A$ და $B$ წერტილებში ($A$ წერტილი მდებარეობს $P$ და $B$ წერტილებს შორის). იპოვეთ $AB$ მონაკვეთის სიგრძე, თუ ცნობილია, რომ $PA=4$ სმ და $PT=8$ სმ.

კონუსის ფუძის რადიუსი 4 სმ-ის ტოლია, ხოლო მსახველი 9 სმ-ის. იპოვეთ ამ კონუსის გვერდითი ზედაპირის შლილის ცენტრალური კუთხე რადიანებში.

იპოვეთ $f(x)=ax^2-12x+c$ ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა, თუ ცნობილია, რომ ამ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია $x=2$ წრფის მიმართ და გადის $(1;\,8)$ წერტილზე.

$Oxy$ საკოორდინატო სიბრტყეზე მოცემულია $OAB$ ბლაგვკუთხა სამკუთხედი, სადაც $A$ წერტილი მდებარეობს პირველ საკოორდინატო მეოთხედში, ხოლო $B$ წერტილი მდებარეობს $Ox$ ღერძზე. ცნობილია, რომ $OA=8$, $AB=7$ და $\angle AOB=60^{\circ}$. გამოთვალეთ $OAB$ სამკუთხედის ფართობი.

საწარმოში ორი სხვადასხვა სიმძლავრის დანადგარი ერთობლივი მუშაობით 400 კილოგრამ ჩირს 10 საათში ამზადებს. ტექნიკური გაუმჯობესესების შემდეგ, პირველი დანადგარის პროდუქტიულობა (ერთ საათში დამზადებული ჩირის მასის რაოდენობა) გაიზარდა 25%-ით, ხოლო ტექნიკური წუნის გამო მეორე დანადგარის პროდუქტიულობა შემცირდა 10%-ით. ამ ცვლილებების შემდეგ, ორივე დანადგარმა ერთად 12 საათში 552 კილოგრამი ჩირი დაამზადა. რამდენი კილოგრამ ჩირს ამზადებდა თავდაპირველად თითოეული დანადგარი ერთ საათში?

$m$ პარამეტრის ყველა იმ მნიშვნელობისთვის, რომლისთვისაც $x^2-(m-3)x+(m^2+3m+2)=0$ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ნამდვილი, ერთმანეთისგან განსხვავებული ამონახსნი, გამოთვალეს ამ ამონახსნების კვადრატების ჯამი $x_1^2+x_2^2$. იპოვეთ ამ ჯამის შესაძლო უდიდესი მნიშვნელობა.